Python几何图形编程之函数曲线

1　任务描述

在平面直角坐标系中，用turtle绘制y=xn（n=-2，-1，0，1，2）的曲线。

2　数学知识点

（1）幂函数

幂函数是指y=xn（n为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数。幂函数y=x-2、y=x-1、y=x1、y=x2（注：当n＜0时，x≠0）在平面直角坐标系里的曲线如图1所示。

幂函数有如下特点：

（a）所有曲线都通过点（1，1）。当n＞0时，曲线过点（0，0）和（1，1）两个点；

（b）当n为正奇数时，曲线在定义域为实数域内单调递增；

（c）当n为正偶数时，曲线在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增；

（d）当n为负奇数时，曲线在第一、三象限内单调递减；

（e）当n为负偶数时，曲线在第二象限内单调递增，在第一象限内单调递减；

（f）当n为负数时，x不能为0。

（2）指数函数

指数函数是指y=ax形式的函数（a为常数且a＞0，a≠1），即底数为常数，指数为自变量，幂为因变量的函数。函数的定义域是实数域R。如：y=2x，y=ex等。这里的e是数学常数，近似等于2.718281828。当底数为e时，这个函数写为exp（x）。

指数函数y=ax（a为常数且a＞0，a≠1）在平面直角坐标系里的曲线如图2所示。

指数函数有如下特点：

（a）对于a不大于0的情况，函数的定义域不连续，这里不予考虑；

（b）指数函数的值域为（0， ∞）；

（c）a＞1时，则指数函数单调递增；若0＜a＜1，则为单调递减的。

3　编程知识点

（1）Python代码的调试

对于任何编程人员来说，程序调试是非常必要的技能。调试就是跟踪程序运行时各行代码运行的情况，并与编程人员预期的效果进行对比，从而帮助编程人员准确地定位程序错误的过程。Python提供了很多调试工具包。

本节介绍Python自带的pdb调试工具包的使用。pdb为Python程序提供了交互式的源代码调试功能，主要包括设置断点、单步调试、进入函数调试、查看当前代码、动态改变变量的值等。

pdb提供的常用调试命令如图3所示。

在图4所示程序中导入pdb库，加入了函数pdb.set_trace（）；在调试过程中，程序会运行到pdb.set_trace（）的位置处。调试过程的Python界面显示如图5所示，选择n Enter可以执行当前的代码；在第一次按下了n Enter之后，可以直接按Enter重复执行上一条调试命令。输入list或l命令可以显示当前代码段。

在调试过程中，我们最关心当前代码运行后，相关变量的值如何变化，代码运行是否符合预期。调试命令p用来打印当前变量的值，如图6所示。

在调试模式下，命令c可以让程序继续运行到下一个pdb.set_trace（）处，如图7所示。可以使用命令n单步执行程序，使用命令p打印变量的当前值，从而判断是否符合预期。

使用命令exit可以退出调试模式。程序在调试过程中运行到i=1时的图形如图8所示。

（2）改变画笔形状

使用turtle库的函数shape（），可以获取当前画笔的形状；如果要改变画笔的形状，只需要给函数shape（）中的输入参数赋值，如图9中shape（“turtle”）就是将画笔形状改为turtle形状。

4　任务分析

用turtle库绘制函数曲线，工作分为两部分：一是绘制坐标轴，另一个是绘制曲线。

为了程序结构清晰，我们把绘制坐标轴的工作放在自定义函数里完成。用自定义的画坐标轴的函数画出x轴和y轴，并标上刻度。每50像素标注一个单位刻度。

为了在主程序和函数中全程能够使用turtle库、pdb库和颜色列表，在程序的开始就完成库的导入和颜色列表的设置，如下：

自定义画坐标轴的函数的逻辑结构如下：

在主程序中，要调用画x轴和y轴的函数，并且用turtle库绘制幂函数曲线。画幂函数的曲线需要有两层循环：外层循环控制画不同n的曲线（n=-2，-1，0，1，2）；内层循环控制x的取值，从-250到250，代表着从-5到5的计算值，计算出相应的y值。指数为负数，x值为0时，y值没有意义，此时不计算y值。

在程序刚开始编写时，由于（x，y）值和曲线的绘制可能出现预料之外的运行结果。我们需要设置调试断点。程序运行正常后，可以去掉调试断点。

主程序的逻辑结构如下：

5　程序设计

新建一个Python程序文件powerfunctioncurvpdb.py，去掉调试函数的程序文件名是powerfunctioncurv.py。

自定义函数的名称为axisxy（），程序开始的库导入代码、颜色列表设置代码和函数的程序代码如图10所示。

有调试功能的主程序代码如图11所示。

6　运行结果

powerfunctioncurvpdb.py是一个调试模式的程序。运行这个程序，会停留在设置pdb.set_trace（）的位置，编程人员可以开始调试，观察在程序执行过程中各变量值的变化情况。运行有调试模式的程序如图12所示。当编写的程序出现问题时，需要使用调试模式进行调试。

程序调试完成后，再运行无调试模式的程序文件powerfunctioncurv.py，程序运行结果如图13所示。

7　发散思考

（a）如果想生成n为其他值的幂函数曲线，该如何修改程序？

在如图11所示的主程序代码中，修改外层循环，如把“for i in range（-2，3，1）”改为“for i in range（-4，5，1）”。为了显示更多的曲线，也可以把画笔修改细一些，如pensize（1），其他不变，便可以生成更多的幂函数曲线，运行结果如图14所示。

（b）如何将坐标轴的刻度范围设置成可动态调整？

我们可以给函数axisxy（）增加两个参数：xn，yn，作用是传递x轴和y轴的正向最大刻度标识。也就是说，将def axisxy（）改为def axisxy（xn，yn）。

在函数里，标记刻度标识时，需要换算。如果以前最大范围是5，现在要变成10，即现在每个单位的刻度范围是以前的2倍。

把图10所示函数axisxy（）中的s=”{0}”.format（j）代码替换为：

在主程序调用函数axisxy（xn， yn）的时候，可以输入任意刻度范围，但需要在计算y值的时候，把计算值换算成相应的像素值。如我们使用axisxy（10，10），在计算y值的时候，要改为y=pow（j/25，i）×25，其他语句不变。程序运行结果如图15所示，x轴和y轴的范围变为[-10，10]，刻度标识范围从-8.0到8.0。

8　挑战自我

在平面直角坐标系中，用turtle绘制y=sin（x）、y=sin（x 45）和y=cos（x）、y=cos（x 45），x的单位是角度。

参考程序

参考程序文件：sincosf.py，这个画正弦函数和余弦函数的程序分为两部分：一部分是画坐标轴的自定义函数程序代码，如图16所示，另一部分是画正弦函数和余弦函数曲线的主程序代码，如图17所示。

画正弦函数和余弦函数程序的运行结果如图18所示。

小结

·数学知识：幂函数和指数函数。

·编程知识：Python代码的调试；

用shape（）函数改变画笔的朝向；

用turtle画坐标轴的方法；

用turtle画函数曲线的方法。