Python几何图形编程之叠加三角形

1　任务描述

用Python作图，将n排小等边三角形叠加形成一个大的等边三角形。任意两个小等边三角形不重叠，相邻两个小等边三角形有且只有一个顶点重合。所有等边三角形的底边与横轴平行。第1排有n个小等边三角形，第2排有n-1个小等边三角形，以此类推，第n排有1个小等边三角形。例如，第1排有7个小等边三角形，第2排有6个小等边三角形，以此类推，第7排有1个等边三角形。要求每一排的三角形颜色不同，并记录每一排第一个小等边三角形起点的坐标。

2　数学知识点

（1）等边三角形边长和顶点位置关系

等边三角形△ABC的边长为a，A点坐标为（0，0），AB边在横轴上，那么，B点坐标为（a，0），C点坐标为（acos60°，asin60°）。假若等边三角形△ABC的边长为30，那么各顶点的坐标如图1所示。

（2）等边三角形的重心

三角形重心是三角形三条中线的交点。等边三角形每条边上的中线、高线和角平分线重合（三线合一）。如图2所示，AE、BF、CD是等边三角形△ABC的三条中线，它们的交点O是等边三角形△ABC的重心。∠AOD=60°，∠OAD=30°，OA和横轴正向的夹角为-150°（顺时针旋转150°）。

4.3　编程知识点

（1）函数position（）和pos（）

可以通过调用函数position（）或者pos（）获取turtle画笔的当前坐标。打印移动画笔坐标的程序代码如图3所示，画笔每移动到一个新的位置，就在屏幕上打印一次坐标。画笔初始位置在原点，水平向右移动50像素，再逆时针旋转115°后，前移100像素。程序运行结果是打印三个点的坐标，如图4所示，最终画笔移动形成的图形如图5所示。

（2）函数fillcolor（）、color（）

turtle库里的函数pencolor（）用来设置画笔颜色，函数fillcolor（）用来设置画笔轨迹所形成图形的填充颜色。如fillcolor（“red”）表示所画图形的填充颜色设置为红色。color（）函数可以用来同时设置画笔颜色和填充颜色。如果color（）里只设置一个颜色字符串，则画笔颜色和填充颜色均为该颜色；如果color（）里有两个颜色字符串，则第一个是设置画笔颜色，第二个是设置填充颜色。

举例来说：

color（“blue”）表示画笔颜色和填充颜色均为蓝色。

color（“blue”，“brown”）表示画笔颜色为蓝色，填充颜色均为棕色。

（3）函数begin_fill（）和end_fill（）

这两个函数是turtle库中用来表示需要填充颜色的形状范围的。在绘制要填充颜色的形状之前，调用begin_fill（），绘制填充颜色的形状完成之后调用end_fill（）。

举例来说：如图6所示，画一个红色的三角形，程序在画三角形代码之前设置填充颜色，同时指定开始填充颜色和结束填充颜色的范围。

这段程序运行的结果如图7所示。从这里可以看出，由于红色三角形的画笔使用的是默认颜色，所以三角形的边框还是黑色的。

4.4　任务分析

多个小等边三角形叠加形成一个大的等边三角形。以7排为例，大等边三角形的每条边有7个小等边三角形（这要用到循环，关键是用几层嵌套循环）。即大等边三角形共有7排小等边三角形需要一层循环；每排小等边三角形的个数分别为7、6、5、4、3、2、1，这也需要一层循环；画小三角形也需要一层循环。所以叠加等边三角形的程序设计共需三层循环，包括画一个小等边三角形；控制每排等边三角形的个数，数量递减；控制排数。

因每一排的小三角形颜色不同，所以颜色列表中需要7种颜色。记录每一排第一个小三角形起点的坐标，调用turtle的pos（）或position（）函数获取画笔移动到这些点的坐标。

程序设计的思路：

4.5　程序设计

新建一个Python程序文件multitriangle.py，叠加等边三角形的程序代码如图8所示。在画图之前的动作包括导入turtle库，设置颜色列表colors，初始化位置变量point。

第一层循环控制排数，本程序循环7次。在循环体内首先完成初始化工作，包括：用print（）函数记录当前是第几排，用setheading（）函数设置当前排画笔的起始方向，用color（）函数设置当前排画笔颜色和填充颜色，抬笔，将画笔用goto（）函数挪到当前排的起点位置上。这样这一层循环的初始化工作就完成了。

第二层循环，画7－i个等边三角形。当画完一个小等边三角形后，需要在第二层循环中，将画笔朝向和画笔位置放在当前排下一个小等边三角形的起点处。

开始颜色填充begin_fill（）和结束颜色填充end_fill（）之间是第三层循环，用来画小等边三角形的三条边。

4.6　运行结果

运行程序multitriangle.py的结果如图9所示。显示每一排小等边三角形起点的坐标如图10所示。

4.7　发散思考

（a）如果更改每一排的起点画笔的朝向，效果会怎样？

在图8所示的程序中，把两处setheading（）都设置为15°，程序运行结果如图11所示，每一排小等边三角形起点的坐标如图12所示。

（b）如果更改第一层和第二层的循环次数，效果会怎样？

在图8的程序中，把第一层for循环的range（7）改为range（4），第一层for循环的range（7-i）改为range（5-i），程序运行的结果如图13所示，每一排小等边三角形起点的坐标如图14所示。

4.8　挑战自我

画几个颜色不同的等边三角形，它们的重心重合在原点（0，0）上。每个三角形总有一条边平行于横轴。记录每个等边三角形顶点的坐标。

参考程序

参考程序文件：trianglerainbow.py，画重心重合的等边三角形的程序代码如图15所示。

程序运行结果如图16所示。

程序运行结果为显示等边三角形顶点坐标，如图17所示。

本章小结

·数学知识：等边三角形边长和顶点的位置关系，等边三角形重心。

·编程知识：获取画笔当前位置的坐标；

设置画笔颜色和填充颜色；

设置开始填充和结束填充颜色的范围。