Python几何图形编程之正方形和内切圆

1　任务描述

用Python作图，在正方形里画一个内切圆，然后画这个圆的内接正方形，接着在内接正方形里再画内切圆，依此类推。每个图形可以选择不同的颜色。

2　数学知识点

（1）圆的定义

在一个平面内，一个动点以一个定点为中心，以一定长度为距离，旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。这个定点叫做圆的圆心。连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r。

（2）正方形的内切圆和外接圆

与正方形各边都相切的圆叫做正方形的内切圆；与正方形各顶点都相交的圆叫做正方形的外接圆。如图1所示，假若正方形的重心在原点O（0，0），正方形的边长是l，那么它的对角线的长度就是，约为1.414l。这个正方形内切圆的半径为l/2，正方形外接圆的半径约为1.414×l/2，正方形A点的坐标为（-l/2，-l/2），AO与横轴正向的夹角为-135°。

（3）圆的外切正方形和内接正方形

每条边都与圆相切的正方形，是圆的外切正方形；每个顶点都在圆上的正方形是圆的内接正方形。如图2所示，假若圆心在原点O（0，0），圆的半径为r，那么它的外切正方形的边长是2r，对角线长约为2r×1.414；内接正方形的边长约为2r/1.414，对角线的长度就是2r。一个圆的外切正方形和内接正方形会有很多。以有一条边与横轴平行的正方形为例，外切正方形E点的坐标为（-r，-r），内接正方形A点的坐标为（-r/1.414，-r/1.414）。AO与横轴正向的角度为-135°。

3　编程知识点

（1）画圆函数circle（）

在turtle库中，画圆的函数是circle（），它的作用是用给定的半径画圆。比如说，circle（100）就是画一个半径为100像素的圆，画笔方向默认是横轴正向，圆心在垂直于画笔方向的左侧，距离画笔100像素的地方，起点在画笔当前位置。

用不同颜色的画笔，以原点为起点，画一系列不同半径的圆，程序代码如图3所示。使用for循环，每次循环取一种颜色，画一个半径为100*（1/2）**i的圆。i从0开始，取值分别为0，1，2，3，4，5，6，7，则（1/2）**i的取值依次为（1/2）0，（1/2）1，（1/2）2，（1/2）3，（1/2）4，（1/2）5，（1/2）6，（1/2）7。于是，第1个圆的半径为100像素，第2个圆的半径就是50像素，第3个圆的半径就是25像素，依此类推。这段代码运行的结果如图4所示。

用Python的turtle库画圆时，如果把半径设置为负数，会怎么样？我们把图3所示程序代码中的pic.circle（100*（1/2）**i），改为pic.circle（-100*（1/2）**i），运行结果如图5所示。原来，半径为负的时候，表示圆心在画笔运行方向的右边。

（2）设置turtle模式：mode（）

在使用turtle库画图时，画笔的默认朝向以横轴正向为0°，逆时针旋转为正向，顺时针旋转为负向。这是turtle库的标准工作模式。在Python中，使用mode（）函数可以返回“standard”值，获取turtle的工作模式如图6所示。

如果将turtle的标准工作模式设为“logo”，则turtle画笔的初始朝向以纵轴正向为0°，顺时针旋转为正向，逆时针旋转为负向。

turtle的两种工作模式说明如图7所示。

我们在图3所示的程序代码中，在导入turtle库后，增加pic.mode（”logo”）的程序代码，如图8所示，运行结果如图9所示。

为了理解logo工作模式对画笔运行角度的影响，先看一段程序代码，如图10所示，运行结果如图11所示。0°方向是正北方向（纵轴正向），45°方向是由0°方向顺时针旋转45°的方向。-90°是由0°方向逆时针旋转90°的方向，215°是由0°方向顺时针旋转215°的方向。

（3）在turtle中写文字的函数：write（）

在用turtle库画图时，有时需要使用函数write（）在画布上写字。函数write（）的格式为：

其中，s为文本内容，font是字体的参数，包括字体名称、大小和类型。

举例来说，用turtle库的函数write（）书写文字的程序代码如图12所示，运行结果如图13所示。

（4）列表

使用turtle库的函数画组合图形，经常需要把画笔移动到不同的位置处。这些位置如果没有什么数学规律，很难在循环的过程中通过计算产生。我们可以把没有数学规律的位置放在一个列表里。在循环中使用索引可以获取这些位置。

例如，画一个奥运五环，首先把五个圆的画笔起始坐标放在如下的位置列表里。

然后使用for循环，画5个圆需要循环5次。每次循环要完成获取当前圆的颜色、抬笔、把画笔移动到当前圆的起始位置、落笔、画圆等几个动作，程序代码如图6-14所示。

程序运行结果如图15所示。

4　任务分析

在正方形里画一个内切圆，内切圆里又画个内接正方形，依此类推。由于要画多个正方形和圆，所以要用到循环。每次循环需要画一个正方形及其内切圆，关键是要找准各个正方形和圆的起笔位置。

从前面可知，正方形内切圆的半径r是正方形边长l的一半，正方形起点的位置在（-r，-r），它的内接圆的起点位置在（0，-r）。下次循环中，正方形的起点位置则变成了（-r/1.414，-r/1.414），内接圆的起点位置在（0，-r/1.414）。每个图形选择不同的颜色，需要定义颜色列表。

基本逻辑结构如下：

5　程序设计

新建一个Python程序文件，叫squarecircle.py。画正方形与圆的程序代码如图16所示。程序先定义colors颜色列表，给正方形边长l和内切圆半径r赋初始值，然后使用setheading（）函数将画笔朝向变为-135°，接着使用forward（1.414*l/2）把画笔移到正方形的起笔位置上。一共执行12次循环，每次循环都画一个正方形和它的内切圆，画完以后，使用l=2*r/1.414和r=l/2算出下一次循环中正方形的边长和内切圆的半径。

完成循环后，最后在（-100，200）的位置上，写“正方形与圆”几个字。

6　运行结果

运行squarecircle.py，结果如图17所示。

7　发散思考

（a）在导入turtle库后，如果将运行模式设置为logo，程序运行的结果会有何不同？为什么？如何让程序运行正常？

在图16所示程序的“import turtle as pic”后，加上pic.mode（”logo”），改变turtle的工作模式为logo。现在纵轴正向为0°，顺时针旋转为正向，逆时针旋转为负向。程序运行结果如图6-18所示。这是由于setheading（0）把画笔的朝向改为了纵轴的正向。于是，在新工作模式下，正方形第一笔的方向位置和内切圆的起点位置都发生了变化，从而图形发生了变化。standard工作模式下的0°，在logo模式下是90°。因此把setheading（0）改为setheading（90），程序运行结果就是图17所示的样子了。

（b）如果把第一层for循环里的画笔起始朝向的绝对角度变化一下，程序运行的结果会有什么样的变化？

在图16程序中，把第一层for循环里setheading（0）变为setheading（45），运行结果如图19所示。循环里正方形的起笔方向变化后，圆的内接正方形的起点位置不再是（-l/2，-l/2），而需要另外计算。如果不重新调整，后续画出的正方形就不再是前一个圆的内接正方形了。

8　挑战自我

用Python作图，画出如图20所示的方圆组合图形。

参考程序

参考答案文件：squarecirclecbd.py，该正方形和圆的组合图形的程序设计如图21所示。

小结

·数学知识：圆的定义；

圆的外切正方形和内接正方形，正方形的外接圆和内切圆。

·编程知识：画圆；

turtle的工作模式设置函数mode（）；

在画布上写字函数write（）；

位置列表的使用；

正方形、圆的位置和角度关系的程序设计。